1. Transformación de la condición inicial:
Elevamos ambos miembros al cuadrado para obtener el seno del ángulo doble:
$$ \begin{aligned} (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 &= \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 \\ \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha &= \frac{7}{4} \\ 1 + \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot 2 &= \frac{7}{4} \\ 1 + \sin 2\alpha &= \frac{7}{4} \implies \sin 2\alpha = \frac{3}{4} \end{aligned} $$

2. Uso de la variable auxiliar $t = \tan \frac{\alpha}{2}$:
Expresamos la condición original $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{2}$ usando $t$:
$$ \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{\sqrt{7}}{2} \implies \frac{1+2t-t^2}{1+t^2} = \frac{\sqrt{7}}{2} $$
Multiplicamos cruzado:
$$ 2 + 4t - 2t^2 = \sqrt{7} + \sqrt{7}t^2 \implies (\sqrt{7}+2)t^2 - 4t + (\sqrt{7}-2) = 0 $$

3. Resolución de la ecuación cuadrática:
Aplicamos la fórmula general:
$$ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}}{2(\sqrt{7}+2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(7-4)}}{2(\sqrt{7}+2)} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2(\sqrt{7}+2)} = \frac{4 \pm 2}{2(\sqrt{7}+2)} $$
Obtenemos dos valores: $t_1 = \frac{3}{\sqrt{7}+2}$ y $t_2 = \frac{1}{\sqrt{7}+2}$.
Racionalizando $t_2$: $t = \frac{\sqrt{7}-2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}-2}{3}$.
Dado que $0 < \alpha < \frac{\pi}{6}$, entonces $0 < \tan \frac{\alpha}{2} < \tan 15^{\circ} \approx 0.267$.
Verificamos: $\frac{\sqrt{7}-2}{3} \approx \frac{2.64-2}{3} = 0.21$. El otro valor es mayor.

$$ \boxed{\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7}-2}{3}} $$