1. Propiedades de ángulo doble en términos de la tangente:
Consideramos $x = 2(\frac{x}{2})$. Sustituimos $a = \tan \frac{x}{2}$ en las fórmulas conocidas:

Para $\sin x$:
$$ \sin x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \implies \sin x = \frac{2a}{1 + a^2} $$

Para $\cos x$:
$$ \cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \implies \cos x = \frac{1 - a^2}{1 + a^2} $$

Para $\tan x$:
$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{2a}{1+a^2}}{\frac{1-a^2}{1+a^2}} = \frac{2a}{1 - a^2} $$

Para $\cot x$:
$$ \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1-a^2}{2a} $$

Queda demostrada la relación fundamental de las funciones trigonométricas en términos de la tangente del ángulo mitad.