1. Identificación de datos y cuadrante:
Dado que $450^{\circ} < \alpha < 540^{\circ}$, el ángulo $\alpha$ está en el segundo cuadrante (equivalente a $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ tras restar $360^{\circ}$). Por lo tanto, $\cos \alpha$ debe ser negativo.

2. Cálculo de $\cos \alpha$:
Usamos la identidad fundamental $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{336}{625}\right)^2} = -\sqrt{\frac{625^2 - 336^2}{625^2}} = -\sqrt{\frac{390625 - 112896}{390625}} = -\sqrt{\frac{277729}{390625}} = -\frac{527}{625} $$

3. Cálculo de $\cos \frac{\alpha}{2}$:
Sabemos que $225^{\circ} < \frac{\alpha}{2} < 270^{\circ}$, lo que sitúa a $\frac{\alpha}{2}$ en el tercer cuadrante (donde el coseno es negativo).
Usamos la fórmula del ángulo mitad:
$$ \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{527}{625}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{98}{625}}{2}} = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25} $$

4. Cálculo de $\sin \frac{\alpha}{4}$:
El ángulo $\frac{\alpha}{4}$ está en el intervalo $112.5^{\circ} < \frac{\alpha}{4} < 135^{\circ}$ (segundo cuadrante), por lo que el seno es positivo.
$$ \sin \frac{\alpha}{4} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\alpha}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{7}{25})}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$

$$ \boxed{\sin \frac{\alpha}{4} = 0.8} $$