1. Datos: $\tan \alpha + \cot \alpha = m$. Notar que $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

2. Desarrollo:
(a) Elevamos al cuadrado:
$(\tan \alpha + \cot \alpha)^2 = m^2 \Rightarrow \tan^2 \alpha + 2(1) + \cot^2 \alpha = m^2$
$$ \boxed{\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = m^2 - 2} $$

(b) Usamos suma de cubos: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$
$\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)(\tan^2 \alpha - 1 + \cot^2 \alpha)$
Sustituyendo el resultado anterior: $m(m^2 - 2 - 1)$
$$ \boxed{\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = m^3 - 3m} $$

(c) Relación de diferencia al cuadrado: $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
$(\tan \alpha - \cot \alpha)^2 = m^2 - 4$
$$ \boxed{\tan \alpha - \cot \alpha = \pm \sqrt{m^2 - 4}} $$