1. Datos del problema:

• Expresión a calcular: $\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right)$
• Valor conocido: $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$
• Cuadrante: $\alpha$ se encuentra en el IV cuadrante ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$).

2. Fórmulas y propiedades:

• Coseno de la diferencia: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
• Identidad fundamental: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$

3. Desarrollo paso a paso:

Primero, necesitamos hallar $\cos \alpha$. Como $\alpha$ está en el IV cuadrante, el coseno debe ser positivo:
$$ \begin{aligned} \cos \alpha &= \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \\ \cos \alpha &= \sqrt{1 - \left( -\frac{12}{13} \right)^2} \\ \cos \alpha &= \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} \\ \cos \alpha &= \frac{5}{13} \end{aligned} $$

Ahora aplicamos la fórmula del coseno de la diferencia para $A = \frac{\pi}{3}$ y $B = \alpha$:
$$ \begin{aligned} \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) &= \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha \\ &= \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{5}{13} \right) + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( -\frac{12}{13} \right) \\ &= \frac{5}{26} - \frac{12\sqrt{3}}{26} \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{5 - 12\sqrt{3}}{26}} $$