1. Datos del problema:
Suma y resta de tangentes con ángulos complementarios.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Co-razones: $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$
• Identidad: $\tan \theta + \cot \theta = 2 \csc 2\theta$
• Identidad: $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$

3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos con ángulos complementarios:
$$ E = (\tan 9^\circ + \tan 81^\circ) - (\tan 27^\circ + \tan 63^\circ) $$

Como $\tan 81^\circ = \cot 9^\circ$ y $\tan 63^\circ = \cot 27^\circ$, tenemos:
$$ E = (\tan 9^\circ + \cot 9^\circ) - (\tan 27^\circ + \cot 27^\circ) $$

Aplicamos la identidad $\tan \theta + \cot \theta = 2 \csc 2\theta$:
$$ E = 2 \csc 18^\circ - 2 \csc 54^\circ $$
$$ E = 2 \left( \frac{1}{\sin 18^\circ} - \frac{1}{\sin 54^\circ} \right) $$

Sabemos que $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$. Usamos los valores exactos:
$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ y $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$$ E = 2 \left( \frac{4}{\sqrt{5}-1} - \frac{4}{\sqrt{5}+1} \right) $$
$$ E = 8 \left( \frac{(\sqrt{5}+1) - (\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} \right) = 8 \left( \frac{2}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4 $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{4} $$