1. Datos del problema:
Convertimos el ángulo: $292^{\circ}30' = 292.5^{\circ}$. Se ubica en el IV cuadrante (coseno positivo).

2. Fórmulas o propiedades usadas:
Reducción: $\cos(270^{\circ} + \theta) = \sin \theta$. Aquí $\theta = 22.5^{\circ}$.
Fórmula del ángulo mitad: $\sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$.

3. Desarrollo paso a paso:
$$ \cos 292.5^{\circ} = \sin 22.5^{\circ} = \sin\left(\frac{45^{\circ}}{2}\right) $$
Aplicamos la fórmula del ángulo mitad con $x = 45^{\circ}$:
$$ \begin{aligned} \sin 22.5^{\circ} &= \sqrt{\frac{1 - \cos 45^{\circ}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\ &= \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\cos 292^{\circ}30' = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}} $$