1. Datos del problema:
Expresamos el ángulo como $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:
Identidad de la tangente de la diferencia:
$$ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\alpha = 45^{\circ}$ y $\beta = 30^{\circ}$, donde $\tan 45^{\circ} = 1$ y $\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
$$ \begin{aligned} \tan 15^{\circ} &= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + (1)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \end{aligned} $$
Racionalizando el denominador multiplicando por el conjugado $(3 - \sqrt{3})$:
$$ \begin{aligned} \tan 15^{\circ} &= \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} \\ &= \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3}} $$