1. Datos del problema:
Se requiere el valor del coseno para un ángulo no notable de forma directa, pero que puede expresarse como la diferencia de dos ángulos notables: $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:
Usaremos la identidad del coseno de la diferencia de dos ángulos:
$$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\alpha = 45^{\circ}$ y $\beta = 30^{\circ}$:
$$ \begin{aligned} \cos 15^{\circ} &= \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) \\ &= \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \end{aligned} $$
Insertamos los valores notables: $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$$ \begin{aligned} \cos 15^{\circ} &= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} $$