I
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_213
Problemas de Trigonometría
Enunciado
Calcule el valor de la siguiente expresión sin usar tablas:
$$ \frac{\sin 9^{\circ} \cos 39^{\circ} - \cos 9^{\circ} \sin 39^{\circ}}{\cos \frac{3\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{28} + \sin \frac{3\pi}{7} \sin \frac{5\pi}{28}} $$
$$ \frac{\sin 9^{\circ} \cos 39^{\circ} - \cos 9^{\circ} \sin 39^{\circ}}{\cos \frac{3\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{28} + \sin \frac{3\pi}{7} \sin \frac{5\pi}{28}} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Una fracción con resta de ángulos en el numerador (grados) y en el denominador (radianes).
2. Fórmulas usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Numerador: $\sin(9^{\circ} - 39^{\circ}) = \sin(-30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -1/2$
Denominador (buscamos denominador común 28):
$$ \frac{3\pi}{7} = \frac{12\pi}{28} $$
Entonces: $\cos(\frac{12\pi}{28} - \frac{5\pi}{28}) = \cos(\frac{7\pi}{28}) = \cos(\frac{\pi}{4})$
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Sustituyendo:
$$ \frac{-1/2}{\sqrt{2}/2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}} $$
Una fracción con resta de ángulos en el numerador (grados) y en el denominador (radianes).
2. Fórmulas usadas:
- $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
- $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
3. Desarrollo paso a paso:
Numerador: $\sin(9^{\circ} - 39^{\circ}) = \sin(-30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -1/2$
Denominador (buscamos denominador común 28):
$$ \frac{3\pi}{7} = \frac{12\pi}{28} $$
Entonces: $\cos(\frac{12\pi}{28} - \frac{5\pi}{28}) = \cos(\frac{7\pi}{28}) = \cos(\frac{\pi}{4})$
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Sustituyendo:
$$ \frac{-1/2}{\sqrt{2}/2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
$$ \boxed{-\frac{\sqrt{2}}{2}} $$