I
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_212
Problemas de Trigonometría
Enunciado
Calcule el valor de la siguiente expresión sin usar tablas:
$$ \frac{\sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ} + \cos 10^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos 19^{\circ} \cos 11^{\circ} - \sin 19^{\circ} \sin 11^{\circ}} $$
$$ \frac{\sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ} + \cos 10^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos 19^{\circ} \cos 11^{\circ} - \sin 19^{\circ} \sin 11^{\circ}} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Expresión numérica con funciones trigonométricas de ángulos cuya suma resulta en ángulos notables.
2. Fórmulas usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Identificamos la forma de las identidades de suma de ángulos en el numerador y denominador:
Numerador: $\sin(10^{\circ} + 20^{\circ}) = \sin 30^{\circ}$
Denominador: $\cos(19^{\circ} + 11^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$
Sustituyendo en la fracción:
$$ \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \tan 30^{\circ} $$
Sabemos que $\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ o $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$$ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}} $$
Expresión numérica con funciones trigonométricas de ángulos cuya suma resulta en ángulos notables.
2. Fórmulas usadas:
- $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
- $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
3. Desarrollo paso a paso:
Identificamos la forma de las identidades de suma de ángulos en el numerador y denominador:
Numerador: $\sin(10^{\circ} + 20^{\circ}) = \sin 30^{\circ}$
Denominador: $\cos(19^{\circ} + 11^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$
Sustituyendo en la fracción:
$$ \frac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}} = \tan 30^{\circ} $$
Sabemos que $\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ o $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$$ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}} $$