1. Datos del problema:
Se tiene una expresión con funciones de ángulo doble y constantes que corresponden a valores de seno y coseno de ángulos notables ($\pi/6$ o $\pi/3$).

2. Fórmulas usadas:

• $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
• $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$
• $1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\theta/2)$ (Ángulo mitad)

3. Desarrollo paso a paso:
Reemplazamos las constantes por sus valores trigonométricos en el numerador:
$$ \text{Num} = \sin \frac{\pi}{3} \cos 2\alpha - \cos \frac{\pi}{3} \sin 2\alpha = \sin \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) $$

Para el denominador, agrupamos el 1 con el término del coseno:
$$ \text{Den} = 1 - \left( \cos \frac{\pi}{3} \cos 2\alpha + \sin \frac{\pi}{3} \sin 2\alpha \right) = 1 - \cos \left( \frac{\pi}{3} - 2\alpha \right) $$

Usando la identidad de ángulo mitad $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$:
$$ \text{Den} = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) $$

Transformando el numerador con $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$:
$$ \text{Num} = 2 \sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) $$

Dividiendo:
$$ \frac{2 \sin (\frac{\pi}{6} - \alpha) \cos (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2 \sin^2 (\frac{\pi}{6} - \alpha)} = \cot \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) $$

Por co-función, $\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$:
$$ \tan \left( \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) \right) = \tan \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) $$

$$ \boxed{\tan \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right)} $$