1. Datos del problema:
Se busca demostrar la igualdad transformando el miembro izquierdo mediante identidades de seno y coseno.

2. Fórmulas usadas:

• $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
• Producto a suma: $2 \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) - \cos(A+B)$
• Producto a suma: $2 \cos(A)\cos(B) = \cos(A-B) + \cos(A+B)$

3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos las tangentes en términos de seno y coseno:
$$ \frac{\sin(35^{\circ} + \alpha) \sin(25^{\circ} - \alpha)}{\cos(35^{\circ} + \alpha) \cos(25^{\circ} - \alpha)} $$

Multiplicamos numerador y denominador por 2 para aplicar las fórmulas de producto a suma:
$$ \frac{2 \sin(35^{\circ} + \alpha) \sin(25^{\circ} - \alpha)}{2 \cos(35^{\circ} + \alpha) \cos(25^{\circ} - \alpha)} $$

Aplicando las identidades:
Numerador: $\cos((35^{\circ} + \alpha) - (25^{\circ} - \alpha)) - \cos((35^{\circ} + \alpha) + (25^{\circ} - \alpha))$
$$ = \cos(10^{\circ} + 2\alpha) - \cos(60^{\circ}) $$
Denominador: $\cos((35^{\circ} + \alpha) - (25^{\circ} - \alpha)) + \cos((35^{\circ} + \alpha) + (25^{\circ} - \alpha))$
$$ = \cos(10^{\circ} + 2\alpha) + \cos(60^{\circ}) $$

Sabiendo que $\cos(60^{\circ}) = 1/2$:
$$ \frac{\cos(10^{\circ} + 2\alpha) - 1/2}{\cos(10^{\circ} + 2\alpha) + 1/2} $$

Multiplicando numerador y denominador por 2 para eliminar la fracción:
$$ \boxed{\frac{2 \cos(10^{\circ} + 2\alpha) - 1}{2 \cos(10^{\circ} + 2\alpha) + 1}} $$