1. Datos del problema:
Se busca simplificar el miembro izquierdo de la ecuación para llegar al miembro derecho.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Transformación de suma a producto: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
• Identidades fundamentales: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• Suma de fracciones: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
• Seno de la suma: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$
• Ángulo doble/compuesto: $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$

3. Desarrollo paso a paso:

Trabajamos con el denominador del miembro izquierdo ($D$):
$$ \begin{aligned} D &= \tan \frac{\alpha + \beta}{2} + \cot \frac{\alpha - \beta}{2} \\ D &= \frac{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} + \frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}} \\ D &= \frac{\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}} \end{aligned} $$

Usando la identidad del coseno de la diferencia $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ en el numerador:
$$ \text{Numerador de } D = \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = \cos \left( \frac{2\beta}{2} \right) = \cos \beta $$
Por lo tanto: $D = \frac{\cos \beta}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}$.

Sustituimos el numerador original y el nuevo denominador en la expresión completa:
$$ \begin{aligned} E &= \frac{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\frac{\cos \beta}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}} \\ E &= \frac{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \beta} \end{aligned} $$

Aplicamos la identidad del ángulo doble $2\sin x \cos x = \sin 2x$ dos veces:
$$ E = \frac{\left( 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cdot \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \beta} $$
Multiplicamos y dividimos por 2 para completar el segundo ángulo doble:
$$ \begin{aligned} E &= \frac{\sin(\alpha + \beta) \cdot \frac{1}{2} \sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} \\ E &= \frac{\sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta)}{2 \cos \beta} \end{aligned} $$

4. Conclusión:
Se ha verificado que ambos miembros son iguales.
$$ \boxed{\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\tan \frac{\alpha + \beta}{2} + \cot \frac{\alpha - \beta}{2}} = \frac{\sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta)}{2 \cos \beta}} $$