1. Datos del problema:
Simplificar el lado izquierdo mediante expansión de binomios.

2. Fórmulas a utilizar:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta = \sin(\beta - \alpha)$
• $1 - \sin(\alpha - \beta) = 1 + \cos(90^\circ + \alpha - \beta)$
• $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$

3. Desarrollo paso a paso:
Expandimos los cuadrados en el miembro izquierdo ($MI$):
$$ \begin{aligned} MI &= (\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta) \\ MI &= (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta) \\ MI &= 1 + 1 + 2\sin(\beta - \alpha) \\ MI &= 2 + 2\sin(\beta - \alpha) = 2(1 - \sin(\alpha - \beta)) \end{aligned} $$
Aplicamos la relación entre seno y coseno para usar la identidad del ángulo mitad:
$\sin(\alpha - \beta) = \cos(90^\circ - (\alpha - \beta))$
$$ MI = 2(1 - \cos(90^\circ - (\alpha - \beta))) $$
Usando $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\theta/2)$:
$$ MI = 2 \cdot 2\sin^2 \left( 45^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2} \right) $$
Dado que $\sin(45^\circ - x) = \cos(45^\circ + x)$, la expresión es equivalente a:
$$ MI = 4 \cos^2 \left( 45^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2} \right) $$

4. Resultado:
Se ha demostrado la igualdad.
$$ \boxed{4 \cos^2 \left( 45^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2} \right)} $$