1. Datos del problema:
Demostrar la equivalencia usando identidades de suma de ángulos y ángulo medio.

2. Fórmulas a utilizar:

• $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
• $\tan 45^\circ = 1$
• $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$ o transformaciones mediante $\sin \alpha$ y $\cos \alpha$.

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos de la base de la tangente de la suma:
$$ \tan(45^\circ + \alpha/2) = \frac{\tan 45^\circ + \tan(\alpha/2)}{1 - \tan 45^\circ \tan(\alpha/2)} = \frac{1 + \tan(\alpha/2)}{1 - \tan(\alpha/2)} $$
Elevando al cuadrado:
$$ MI = \left( \frac{1 + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{1 - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} \right)^2 = \left( \frac{\cos(\alpha/2) + \sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2) - \sin(\alpha/2)} \right)^2 $$
Expandiendo el cuadrado:
$$ MI = \frac{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2) + 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2) - 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} $$
Usando la identidad fundamental $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ y el ángulo doble $2\sin x \cos x = \sin 2x$:
$$ MI = \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $$

4. Conclusión:
Se verifica que la expresión simplificada coincide con la forma racional de la función.
$$ \boxed{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} $$