Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_202
Problemas de Trigonometría
Enunciado
Demostrar la identidad:
$$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos (\alpha + \beta + \gamma) = 4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} $$
$$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos (\alpha + \beta + \gamma) = 4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Suma de cuatro funciones coseno que deben transformarse en un producto de tres funciones coseno con argumentos de semi-sumas.
2. Fórmulas usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos del lado izquierdo en pares:
$$ LI = (\cos \alpha + \cos \beta) + (\cos \gamma + \cos(\alpha + \beta + \gamma)) $$
Aplicamos la fórmula de suma a producto a cada paréntesis:
Primer par:
$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$
Segundo par:
$$ \cos \gamma + \cos(\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cos \frac{(\alpha + \beta + \gamma) + \gamma}{2} \cos \frac{(\alpha + \beta + \gamma) - \gamma}{2} $$
$$ = 2 \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $$
Ahora sumamos ambos resultados:
$$ LI = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $$
Factorizamos el término común $2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$:
$$ LI = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left[ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \right] $$
Aplicamos nuevamente la suma de cosenos dentro del corchete:
Sea $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$ y $y = \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}$.
$$ \frac{x+y}{2} = \frac{\frac{\alpha - \beta + \alpha + \beta + 2\gamma}{2}}{2} = \frac{\frac{2\alpha + 2\gamma}{2}}{2} = \frac{\alpha + \gamma}{2} $$
$$ \frac{y-x}{2} = \frac{\frac{\alpha + \beta + 2\gamma - (\alpha - \beta)}{2}}{2} = \frac{\frac{2\beta + 2\gamma}{2}}{2} = \frac{\beta + \gamma}{2} $$
Entonces:
$$ LI = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left[ 2 \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \right] $$
$$ LI = 4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} $$
4. Conclusión:
La expresión se ha simplificado al producto solicitado.
$$ \boxed{4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}} $$
Suma de cuatro funciones coseno que deben transformarse en un producto de tres funciones coseno con argumentos de semi-sumas.
2. Fórmulas usadas:
- Suma de cosenos a producto: $\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)$
3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos del lado izquierdo en pares:
$$ LI = (\cos \alpha + \cos \beta) + (\cos \gamma + \cos(\alpha + \beta + \gamma)) $$
Aplicamos la fórmula de suma a producto a cada paréntesis:
Primer par:
$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $$
Segundo par:
$$ \cos \gamma + \cos(\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cos \frac{(\alpha + \beta + \gamma) + \gamma}{2} \cos \frac{(\alpha + \beta + \gamma) - \gamma}{2} $$
$$ = 2 \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $$
Ahora sumamos ambos resultados:
$$ LI = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} $$
Factorizamos el término común $2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$:
$$ LI = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left[ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \right] $$
Aplicamos nuevamente la suma de cosenos dentro del corchete:
Sea $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$ y $y = \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}$.
$$ \frac{x+y}{2} = \frac{\frac{\alpha - \beta + \alpha + \beta + 2\gamma}{2}}{2} = \frac{\frac{2\alpha + 2\gamma}{2}}{2} = \frac{\alpha + \gamma}{2} $$
$$ \frac{y-x}{2} = \frac{\frac{\alpha + \beta + 2\gamma - (\alpha - \beta)}{2}}{2} = \frac{\frac{2\beta + 2\gamma}{2}}{2} = \frac{\beta + \gamma}{2} $$
Entonces:
$$ LI = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \left[ 2 \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \right] $$
$$ LI = 4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2} $$
4. Conclusión:
La expresión se ha simplificado al producto solicitado.
$$ \boxed{4 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}} $$