De la 1ª ecuación despejamos $x$:
$$ x = \frac{\pi}{4} - y $$

Sustituimos en la ecuación (2):
$$ \tan\left[\frac{\pi}{4} - y\right] + \tan y = 1 $$

Desarrollamos usando la identidad de la tangente de una diferencia:
$$ \Rightarrow \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan y}{1 + \tan\frac{\pi}{4} \cdot \tan y} + \tan y = 1 $$

Sabiendo que $\tan\frac{\pi}{4} = 1$:
$$ \Rightarrow \frac{1 - \tan y}{1 + \tan y} = 1 - \tan y $$

Multiplicamos ambos lados por $(1 + \tan y)$:
$$ \Rightarrow (1 - \tan y) = (1 - \tan y) \cdot (1 + \tan y) $$

Llevamos todo a un miembro y factorizamos $(1 - \tan y)$:
$$ \Rightarrow (1 - \tan y) - (1 - \tan y) \cdot (1 + \tan y) = 0 $$
$$ \Rightarrow (1 - \tan y) \cdot [1 - (1 + \tan y)] = 0 $$
$$ \Rightarrow (1 - \tan y) \cdot (1 - 1 - \tan y) = 0 $$
$$ \Rightarrow -\tan y \cdot (1 - \tan y) = 0 $$

De donde obtenemos dos casos: $\tan y = 0$ ; $\tan y = 1$

• Con $\tan y = 0 \Rightarrow y = n\pi + \arctan 0 \Rightarrow y = n\pi$


• Con $\tan y = 1 \Rightarrow y = n\pi + \arctan 1 \Rightarrow y = n\pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = \frac{\pi}{4}(4n + 1)$

Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) para hallar $x$:
$$ x_1 = \frac{\pi}{4} - y_1 \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} - n\pi \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4} \cdot (1 - 4n) $$

Luego, para el segundo valor de $y$:
$$ x_2 = \frac{\pi}{4} - y_2 \Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{4} - n\pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow x_2 = -n\pi $$