1. Datos del problema:
Se requiere verificar la igualdad partiendo del miembro izquierdo mediante el uso de identidades de producto a suma o de ángulos compuestos.

2. Fórmulas usadas:

• Producto de senos: $\sin(x+y)\sin(x-y) = \sin^2 x - \sin^2 y$
• Valor notable: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del lado izquierdo de la ecuación ($LI$):
$$ LI = 4 \left[ \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) \right] $$

Aplicamos la identidad de la diferencia de cuadrados para senos $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$:
$$ LI = 4 \left( \sin^2 \alpha - \sin^2 \frac{\pi}{3} \right) $$

Sustituimos el valor de $\sin \frac{\pi}{3}$:
$$ \begin{aligned} LI &= 4 \left( \sin^2 \alpha - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \right) \\ LI &= 4 \left( \sin^2 \alpha - \frac{3}{4} \right) \end{aligned} $$

Distribuimos el número 4:
$$ LI = 4 \sin^2 \alpha - 4 \left( \frac{3}{4} \right) $$
$$ LI = 4 \sin^2 \alpha - 3 $$

4. Conclusión:
El resultado obtenido coincide exactamente con el miembro derecho de la identidad original.

$$ \boxed{4 \sin^2 \alpha - 3 = 4 \sin^2 \alpha - 3} $$