1. Datos del problema:
Se debe demostrar la identidad bajo la restricción del primer cuadrante.

2. Formulas usadas:

• $1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
• $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$
• Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos el contenido de las raíces como cuadrados perfectos:
$$ \begin{aligned} 1 + \sin \alpha &= \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \\ &= \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 \end{aligned} $$
De igual forma:
$$ 1 - \sin \alpha = \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right)^2 $$

Sustituyendo en la expresión original:
$$ \sqrt{\left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2} - \sqrt{\left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right)^2} $$
Como $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, entonces $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. En este intervalo, $\cos \frac{\alpha}{2} > \sin \frac{\alpha}{2} > 0$. Por lo tanto, las raíces son positivas:
$$ \begin{aligned} LHS &= \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right) - \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) \\ &= \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \\ &= 2 \sin \frac{\alpha}{2} \end{aligned} $$

4. Conclusión:
La expresión simplificada coincide con el miembro derecho.
$$ \boxed{2 \sin \frac{\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\alpha}{2}} $$