1. Datos del problema:
Se busca verificar la igualdad simplificando ambos miembros o transformando uno en el otro.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• Identidad de la cotangente: $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
• Identidad de la tangente: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
• Ángulo doble: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
• Ángulo doble (coseno): $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$
• Ángulo mitad: $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ y $\cot \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}$

3. Desarrollo paso a paso:

Trabajamos primero con el miembro izquierdo ($LHS$):
$$ \begin{aligned} LHS &= 2 \left( \frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \right) \\ &= 2 \left( \frac{1 + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \right) \end{aligned} $$
Aplicando las identidades de ángulo doble:
$$ \begin{aligned} LHS &= 2 \left( \frac{2 \cos^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} \right) \\ &= 2 \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) \\ &= 2 \cot \alpha \end{aligned} $$

Ahora trabajamos con el miembro derecho ($RHS$):
$$ \begin{aligned} RHS &= \cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2} \\ &= \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} \\ &= \frac{(1 + \cos \alpha) - (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha} \\ &= \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} \\ &= 2 \cot \alpha \end{aligned} $$

4. Conclusión:
Puesto que ambos miembros reducen a la misma expresión, la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{2 \cot \alpha = 2 \cot \alpha} $$