Iii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_196
Guía de Ejercicios
Enunciado
Demostrar:
$$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\cos \alpha} - \tan \alpha $$
$$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\cos \alpha} - \tan \alpha $$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo del miembro izquierdo (LHS):
Multiplicamos por el conjugado del denominador:
$$ \begin{aligned} LHS &= \frac{(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})^2}{(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2})(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})} \\ LHS &= \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \end{aligned} $$
Aplicando identidades fundamentales y de ángulo doble:
$$ LHS = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} $$
2. Desarrollo del miembro derecho (RHS):
$$ RHS = \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} $$
3. Conclusión:
$$ \boxed{\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}} $$
Multiplicamos por el conjugado del denominador:
$$ \begin{aligned} LHS &= \frac{(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})^2}{(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2})(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})} \\ LHS &= \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}} \end{aligned} $$
Aplicando identidades fundamentales y de ángulo doble:
$$ LHS = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} $$
2. Desarrollo del miembro derecho (RHS):
$$ RHS = \frac{1}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} $$
3. Conclusión:
$$ \boxed{\frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha}} $$