Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_195
Guía de Ejercicios
Enunciado
Verificar:
$$ 1 - \sin 8\alpha = 2 \cos^2 (45^{\circ} + 4\alpha) $$
$$ 1 - \sin 8\alpha = 2 \cos^2 (45^{\circ} + 4\alpha) $$
Solución Paso a Paso
1. Propiedad del coseno del ángulo doble:
Recordamos que $2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$. Sea $\theta = 45^{\circ} + 4\alpha$.
2. Desarrollo paso a paso:
$$ \begin{aligned} 2 \cos^2 (45^{\circ} + 4\alpha) &= 1 + \cos(2(45^{\circ} + 4\alpha)) \\ &= 1 + \cos(90^{\circ} + 8\alpha) \end{aligned} $$
Usamos reducción al primer cuadrante: $\cos(90^{\circ} + x) = -\sin x$.
$$ 1 + (-\sin 8\alpha) = 1 - \sin 8\alpha $$
3. Resultado final:
$$ \boxed{1 - \sin 8\alpha = 1 - \sin 8\alpha} $$
Recordamos que $2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$. Sea $\theta = 45^{\circ} + 4\alpha$.
2. Desarrollo paso a paso:
$$ \begin{aligned} 2 \cos^2 (45^{\circ} + 4\alpha) &= 1 + \cos(2(45^{\circ} + 4\alpha)) \\ &= 1 + \cos(90^{\circ} + 8\alpha) \end{aligned} $$
Usamos reducción al primer cuadrante: $\cos(90^{\circ} + x) = -\sin x$.
$$ 1 + (-\sin 8\alpha) = 1 - \sin 8\alpha $$
3. Resultado final:
$$ \boxed{1 - \sin 8\alpha = 1 - \sin 8\alpha} $$