1. Datos del problema:
Se busca simplificar la expresión bajo la raíz cuadrada para demostrar que es equivalente al valor absoluto del coseno de la suma de dos ángulos.

2. Fórmulas y propiedades a usar:

• Identidad del ángulo doble: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
• Identidad del coseno de la suma: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
• Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
• Propiedad de la raíz: $\sqrt{x^2} = |x|$

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, transformamos el término central utilizando la identidad del ángulo doble:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \sin 2\alpha \sin 2\beta &= \frac{1}{2} (2 \sin \alpha \cos \alpha) (2 \sin \beta \cos \beta) \\ &= 2 \sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta \end{aligned} $$

Sustituimos esto en la expresión original dentro de la raíz:
$$ E = \sqrt{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta - 2 \sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \cos \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta} $$

Observamos que los términos son cuadrados perfectos:
$$ \begin{aligned} \cos^2 \alpha \cos^2 \beta &= (\cos \alpha \cos \beta)^2 \\ \sin^2 \alpha \sin^2 \beta &= (\sin \alpha \sin \beta)^2 \end{aligned} $$

Reordenando, identificamos la estructura de un trinomio cuadrado perfecto $a^2 - 2ab + b^2$:
$$ E = \sqrt{(\cos \alpha \cos \beta)^2 - 2(\cos \alpha \cos \beta)(\sin \alpha \sin \beta) + (\sin \alpha \sin \beta)^2} $$

Factorizamos el trinomio:
$$ E = \sqrt{(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)^2} $$

Aplicamos la identidad del coseno de la suma $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$:
$$ E = \sqrt{(\cos(\alpha + \beta))^2} $$

Finalmente, simplificamos la raíz como un valor absoluto:
$$ \boxed{E = |\cos(\alpha + \beta)|} $$
Se cumple la identidad.