1. Datos del problema:
Producto de tangentes con argumentos $\pi/7, 2\pi/7$ y $3\pi/7$.

2. Fórmulas usadas:

• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
• Producto de senos: $\prod_{k=1}^{3} \sin \frac{k\pi}{7} = \frac{\sqrt{7}}{8}$
• Producto de cosenos: $\prod_{k=1}^{3} \cos \frac{k\pi}{7} = \frac{1}{8}$

3. Desarrollo paso a paso:
Sabemos que el producto de los senos (extrayendo la raíz cuadrada del ejercicio 1232, considerando que los ángulos están en el primer y segundo cuadrante donde el seno es positivo) es:
$$ P_s = \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2\pi}{7} \sin \frac{3\pi}{7} = \sqrt{\frac{7}{64}} = \frac{\sqrt{7}}{8} $$
Para los cosenos, usamos la identidad $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$:
Notando que $\cos \frac{3\pi}{7} = -\cos \frac{4\pi}{7}$, el producto se relaciona con la fórmula $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k x)$. Evaluando el producto de cosenos para $n=7$ se obtiene:
$$ P_c = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8} $$
Finalmente, la tangente es el cociente de ambos productos:
$$ \tan \frac{\pi}{7} \tan \frac{2\pi}{7} \tan \frac{3\pi}{7} = \frac{P_s}{P_c} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{7} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\tan \frac{\pi}{7} \tan \frac{2\pi}{7} \tan \frac{3\pi}{7} = \sqrt{7}} $$