1. Datos del problema:
Se debe verificar el producto de los cuadrados de los senos de ángulos que son múltiplos de $\pi/7$.

2. Propiedades usadas:

• Identidad del producto de senos: $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$.
• Relación entre raíces de la unidad y funciones trigonométricas.

3. Desarrollo paso a paso:
Consideramos la fórmula general para el producto de senos:
$$ \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} $$
Para nuestro caso, sea $n=7$. El producto de todos los términos desde $k=1$ hasta $k=6$ es:
$$ \sin \frac{\pi}{7} \sin \frac{2\pi}{7} \sin \frac{3\pi}{7} \sin \frac{4\pi}{7} \sin \frac{5\pi}{7} \sin \frac{6\pi}{7} = \frac{7}{2^6} = \frac{7}{64} $$
Notamos que por la propiedad de ángulos suplementarios ($\sin(\pi - x) = \sin x$):
$$ \sin \frac{6\pi}{7} = \sin \frac{\pi}{7}, \quad \sin \frac{5\pi}{7} = \sin \frac{2\pi}{7}, \quad \sin \frac{4\pi}{7} = \sin \frac{3\pi}{7} $$
Sustituyendo estas igualdades en el producto total:
$$ \left( \sin \frac{\pi}{7} \right)^2 \left( \sin \frac{2\pi}{7} \right)^2 \left( \sin \frac{3\pi}{7} \right)^2 = \frac{7}{64} $$
Lo cual coincide exactamente con la expresión original:
$$ \sin^2 \frac{\pi}{7} \sin^2 \frac{2\pi}{7} \sin^2 \frac{3\pi}{7} = \frac{7}{64} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\sin^2 \frac{\pi}{7} \sin^2 \frac{2\pi}{7} \sin^2 \frac{3\pi}{7} = \frac{7}{64}} $$