1. Datos del problema:
Producto de cosenos cuyos ángulos están en progresión geométrica de razón 2.

2. Fórmulas usadas:
Identidad del ángulo doble: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2 \sin \theta}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$.
Multiplicamos y dividimos por $2 \sin \frac{\pi}{7}$:
$$ P = \frac{2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}} $$
$$ P = \frac{\sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{2 \sin \frac{\pi}{7}} $$

Multiplicamos y dividimos por 2 nuevamente:
$$ P = \frac{2 \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{4 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{\sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{4 \sin \frac{\pi}{7}} $$

Nuevamente por 2:
$$ P = \frac{2 \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} $$

Como $\frac{8\pi}{7} = \pi + \frac{\pi}{7}$, aplicamos reducción al segundo cuadrante:
$\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$.
$$ P = \frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{8} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{-\frac{1}{8}} $$