1. Datos del problema:
Se debe verificar una igualdad que involucra potencias pares de $\tan 20^\circ$.

2. Formulas usadas:
Identidad de la tangente del triple ángulo:
$$ \tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $\theta = 20^\circ$, por lo tanto $3\theta = 60^\circ$.
Sabemos que $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Sustituimos en la fórmula:
$$ \sqrt{3} = \frac{3 \tan 20^\circ - \tan^3 20^\circ}{1 - 3 \tan^2 20^\circ} $$

Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$ (\sqrt{3})^2 = \left( \frac{3 \tan 20^\circ - \tan^3 20^\circ}{1 - 3 \tan^2 20^\circ} \right)^2 $$
$$ 3 = \frac{(3 \tan 20^\circ - \tan^3 20^\circ)^2}{(1 - 3 \tan^2 20^\circ)^2} $$

Desarrollamos los binomios al cuadrado:
$$ 3 (1 - 6 \tan^2 20^\circ + 9 \tan^4 20^\circ) = 9 \tan^2 20^\circ - 6 \tan^4 20^\circ + \tan^6 20^\circ $$
$$ 3 - 18 \tan^2 20^\circ + 27 \tan^4 20^\circ = 9 \tan^2 20^\circ - 6 \tan^4 20^\circ + \tan^6 20^\circ $$

Agrupamos todos los términos de un solo lado para igualar a 3:
$$ \tan^6 20^\circ - 6 \tan^4 20^\circ - 27 \tan^4 20^\circ + 9 \tan^2 20^\circ + 18 \tan^2 20^\circ = 3 $$
$$ \tan^6 20^\circ - 33 \tan^4 20^\circ + 27 \tan^2 20^\circ = 3 $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan^6 20^\circ - 33 \tan^4 20^\circ + 27 \tan^2 20^\circ = 3} $$