1. Datos del problema:
Se requiere verificar la igualdad simplificando ambos miembros mediante arcos relacionados y reducción al primer cuadrante.

2. Propiedades a usar:

• $\sin(\theta - 270^{\circ}) = \cos \theta$
• $\cos(\theta + 90^{\circ}) = -\sin \theta$
• $\tan(3\alpha - 180^{\circ}) = \tan(3\alpha)$ (por periodicidad de la tangente)
• $\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha$
• $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$
• $\cot(90^{\circ} - 3\alpha) = \tan(3\alpha)$

3. Desarrollo paso a paso:
Analizamos el miembro izquierdo ($LHS$):
$$ \begin{aligned} LHS &= \sin(\alpha - 270^{\circ}) \cos(\alpha + 90^{\circ}) \tan(3\alpha - 180^{\circ}) \\ &= (\cos \alpha) \cdot (-\sin \alpha) \cdot (\tan 3\alpha) \\ &= -\sin \alpha \cos \alpha \tan 3\alpha \end{aligned} $$

Analizamos el miembro derecho ($RHS$):
$$ \begin{aligned} RHS &= \cos(180^{\circ} - \alpha) \sin(180^{\circ} - \alpha) \cot(90^{\circ} - 3\alpha) \\ &= (-\cos \alpha) \cdot (\sin \alpha) \cdot (\tan 3\alpha) \\ &= -\sin \alpha \cos \alpha \tan 3\alpha \end{aligned} $$

4. Conclusión:
Puesto que $LHS = RHS$, la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{-\sin \alpha \cos \alpha \tan 3\alpha = -\sin \alpha \cos \alpha \tan 3\alpha} $$