1. Datos del problema:
Simplificar la diferencia de fracciones de ángulos triples para llegar a una expresión en términos del ángulo doble.

2. Fórmulas a utilizar:

• Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• Seno y coseno del ángulo triple:
  $\sin 3\alpha = \sin \alpha (3 - 4\sin^2 \alpha)$, $\cos 3\alpha = \cos \alpha (4\cos^2 \alpha - 3)$

3. Desarrollo paso a paso:

Primero, simplificamos cada fracción individualmente:
$$ \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4\sin^2 \alpha $$
$$ \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} = \frac{4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha}{\cos \alpha} = 4\cos^2 \alpha - 3 $$

Ahora elevamos al cuadrado cada expresión según el problema original:
$$ (3 - 4\sin^2 \alpha)^2 - (4\cos^2 \alpha - 3)^2 $$

Usamos la identidad de diferencia de cuadrados:
\begin{aligned} & [ (3 - 4\sin^2 \alpha) - (4\cos^2 \alpha - 3) ] \cdot [ (3 - 4\sin^2 \alpha) + (4\cos^2 \alpha - 3) ] \\ & [ 6 - 4(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) ] \cdot [ 4(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) ] \\ & [ 6 - 4(1) ] \cdot [ 4(\cos 2\alpha) ] \\ & [ 2 ] \cdot [ 4 \cos 2\alpha ] = 8 \cos 2\alpha \end{aligned}

4. Conclusión:
La identidad queda demostrada.
$$ \boxed{8 \cos 2\alpha = 8 \cos 2\alpha} $$