1. Datos del problema:
Se nos pide probar que la suma de tres fracciones que involucran senos de diferencias y productos de cosenos es igual a cero.

2. Fórmulas a utilizar:
Utilizaremos la identidad del seno de la diferencia de dos ángulos:
$$ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $$

3. Desarrollo paso a paso:

Analicemos el primer término de la expresión:
$$ \frac{\sin (\beta-\gamma)}{\cos \beta \cos \gamma} = \frac{\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma}{\cos \beta \cos \gamma} $$

Al separar la fracción en dos términos, obtenemos:
$$ \frac{\sin \beta \cos \gamma}{\cos \beta \cos \gamma} - \frac{\cos \beta \sin \gamma}{\cos \beta \cos \gamma} = \tan \beta - \tan \gamma $$

Aplicando el mismo razonamiento de forma cíclica para los otros dos términos:
\begin{aligned} \frac{\sin (\gamma-\alpha)}{\cos \gamma \cos \alpha} &= \tan \gamma - \tan \alpha \\ \frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} &= \tan \alpha - \tan \beta \end{aligned}

Sumamos los tres resultados obtenidos:
$$ (\tan \beta - \tan \gamma) + (\tan \gamma - \tan \alpha) + (\tan \alpha - \tan \beta) $$

Observamos que todos los términos se cancelan entre sí:
$$ \tan \beta - \tan \beta - \tan \gamma + \tan \gamma - \tan \alpha + \tan \alpha = 0 $$

4. Conclusión:
Se ha verificado que la suma de las fracciones es idénticamente nula.
$$ \boxed{0 = 0} $$