1. Datos del problema:
Se debe verificar que el miembro izquierdo de la ecuación es equivalente al derecho.
LHS: $\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad del ángulo doble: $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$
• Identidad de co-función: $\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta)$
• Identidad de degradación: $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos(2\theta)$

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, simplificamos el producto de cosenos multiplicando y dividiendo por $\sin 20^\circ$:
$$ \begin{aligned} P &= 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ P &= \frac{4 (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} \\ P &= \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} \\ P &= \frac{2 (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} \\ P &= \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} \end{aligned} $$
Como $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$, entonces $P = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 1$.

Sustituimos en la expresión original:
$$ \begin{aligned} LHS &= \sin 70^\circ + 1 \\ LHS &= \cos 20^\circ + 1 \end{aligned} $$
Por otro lado, el lado derecho (RHS) es $2 \cos^2 10^\circ$. Aplicando la fórmula de degradación:
$$ 2 \cos^2 10^\circ = 1 + \cos(2 \cdot 10^\circ) = 1 + \cos 20^\circ $$

4. Conclusión:
Puesto que $1 + \cos 20^\circ = 1 + \cos 20^\circ$, la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{\sin 70^\circ + 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 10^\circ} $$