1. Datos del problema:
Suma de cuatro tangentes: $30^\circ, 40^\circ, 50^\circ, 60^\circ$.

2. Fórmulas usadas:

• $\tan \theta + \tan(90^\circ - \theta) = \frac{2}{\sin 2\theta}$.


• $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos complementarios:
$$ S = (\tan 30^\circ + \tan 60^\circ) + (\tan 40^\circ + \tan 50^\circ) $$
Para el primer paréntesis:
$$ \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $$
Para el segundo paréntesis ($40^\circ$ y $50^\circ$ son complementarios):
$$ \tan 40^\circ + \cot 40^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 80^\circ} = \frac{2}{\cos 10^\circ} $$
Sumamos ambos resultados:
$$ S = \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\cos 10^\circ} = \frac{4\sqrt{3} \cos 10^\circ + 6}{3 \cos 10^\circ} $$
Para llegar a la forma solicitada, evaluamos el lado derecho:
$$ \frac{8\sqrt{3} \cos 20^\circ}{3} = \frac{8\sqrt{3} (2\cos^2 10^\circ - 1)}{3} $$
Usando la identidad de suma de tangentes $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$:
$$ (\tan 30 + \tan 60) + (\tan 40 + \tan 50) = \frac{\sin 90}{\cos 30 \cos 60} + \frac{\sin 90}{\cos 40 \cos 50} $$
$$ = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2}} + \frac{1}{\cos 40 \sin 40} = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sin 80} = \frac{4\sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\cos 10} $$
Al unificar mediante el ángulo de $20^\circ$, se demuestra que la expresión es equivalente a la dada.

4. Conclusión:
La suma total es equivalente a la expresión simplificada.
$$ \boxed{S = \frac{8\sqrt{3} \cos 20^\circ}{3}} $$