1. Datos del problema:
Verificar el producto de cosenos: $8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \cot 10^\circ$.

2. Fórmulas usadas:

• Ángulo doble: $\cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2 \sin \theta}$.


• Producto de cosenos: $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha) = \frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin \alpha}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $P = 8 \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ$. Multiplicamos y dividimos por $\sin 10^\circ$:
$$ P = \frac{8 \sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $$
Aplicamos repetidamente $2 \sin A \cos A = \sin 2A$:
$$ P = \frac{4 (2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ) \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $$
$$ P = \frac{2 (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 10^\circ} $$
$$ P = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} $$
Como $80^\circ$ y $10^\circ$ son complementarios, $\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$:
$$ P = \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = \cot 10^\circ $$

4. Conclusión:
La identidad se cumple satisfactoriamente.
$$ \boxed{\cot 10^\circ = \cot 10^\circ} $$