1. Datos del problema:
Se nos presenta una diferencia de cuadrados de funciones seno con argumentos compuestos.
Argumento 1: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$
Argumento 2: $y = \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$


• Identidad de producto de senos (identidad de de diferencia de cuadrados de senos):

$$ \sin^2(A) - \sin^2(B) = \sin(A+B)\sin(A-B) $$

3. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la identidad $\sin^2(A) - \sin^2(B) = \sin(A+B)\sin(A-B)$ donde:
$A = \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2}$
$B = \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2}$

Calculamos la suma de los argumentos ($A+B$):
$$ A + B = \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right) + \left( \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $$

Calculamos la diferencia de los argumentos ($A-B$):
$$ A - B = \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right) - \left( \frac{\pi}{8} - \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha $$

Sustituimos en la identidad:
$$ \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin(\alpha) $$

Sabemos que $\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, por lo tanto:
$$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha} $$