1. Datos del problema:
Fracción algebraica con funciones trigonométricas al cuadrado de ángulos $\alpha$ y $2\alpha$.

2. Propiedades usadas:

• $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \implies \sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$


• $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\sin^2 2\alpha$ en el numerador ($N$):
$$ \begin{aligned} N &= 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 4\sin^2 \alpha \\ N &= 4\sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) = 4\sin^2 \alpha (-\sin^2 \alpha) = -4\sin^4 \alpha \end{aligned} $$
Sustituimos en el denominador ($D$):
$$ \begin{aligned} D &= 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + 4\sin^2 \alpha - 4 \\ D &= 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 4(1 - \sin^2 \alpha) \\ D &= 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 4\cos^2 \alpha \\ D &= 4\cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha - 1) = 4\cos^2 \alpha (-\cos^2 \alpha) = -4\cos^4 \alpha \end{aligned} $$
Dividimos numerador entre denominador:
$$ E = \frac{-4\sin^4 \alpha}{-4\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \tan^4 \alpha $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan^4 \alpha} $$