1. Datos del problema:
Producto de dos fracciones con funciones de ángulo doble y cuádruple.

2. Propiedades usadas:

• $\frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan \theta$


• $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$

3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos la primera fracción usando la identidad de la tangente del ángulo mitad:
$$ \frac{\sin 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \tan 2\alpha $$
La expresión queda:
$$ E = \tan 2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} $$
Sustituimos $\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$:
$$ E = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} $$
Aplicamos nuevamente la propiedad $\frac{\sin 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan \theta$:
$$ E = \tan \alpha $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan \alpha} $$