1. Datos del problema:
Expresión trigonométrica con constantes y funciones base seno y coseno.

2. Propiedades usadas:
Identidad de ángulo compuesto: $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ)$.
Identidad de diferencia: $\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \sin(\alpha - 45^\circ)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Factorizamos $\sqrt{2}$ en el numerador:
$$ \begin{aligned} N &= \sqrt{2} - (\sin \alpha + \cos \alpha) \\ N &= \sqrt{2} - \sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ) \\ N &= \sqrt{2} (1 - \sin(\alpha + 45^\circ)) \end{aligned} $$
Para el denominador $D$:
$$ D = \sqrt{2} \sin(\alpha - 45^\circ) $$
Sustituyendo:
$$ E = \frac{\sqrt{2}(1 - \sin(\alpha + 45^\circ))}{\sqrt{2} \sin(\alpha - 45^\circ)} = \frac{1 - \sin(\alpha + 45^\circ)}{\sin(\alpha - 45^\circ)} $$
Usando identidades de ángulos complementarios $\sin(x+45^\circ) = \cos(45^\circ-x)$:
$$ \begin{aligned} E &= \frac{1 - \cos(45^\circ - \alpha)}{-\sin(45^\circ - \alpha)} \\ \text{Usando } 1-\cos \theta = 2\sin^2(\theta/2) & \text{ y } \sin \theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2): \\ E &= \frac{2\sin^2(\frac{45^\circ-\alpha}{2})}{-2\sin(\frac{45^\circ-\alpha}{2})\cos(\frac{45^\circ-\alpha}{2})} \\ E &= -\tan\left(\frac{45^\circ - \alpha}{2}\right) = \tan\left(\frac{\alpha - 45^\circ}{2}\right) \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{8}\right)} $$