1. Datos del problema:
Diferencia entre una función de ángulo cuádruple y una de ángulo doble.

2. Fórmulas a utilizar:

• Ángulo doble: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ (Aplicado a $4\alpha$, es $2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$)
• Definición: $\cot 2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el seno del ángulo doble en el primer término:
$$ E = \frac{2}{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$
Simplificando el 2:
$$ E = \frac{1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$

Buscamos un denominador común ($\sin 2\alpha \cos 2\alpha$):
$$ \begin{aligned} E &= \frac{1 - (\cos 2\alpha)(\cos 2\alpha)}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} \\ E &= \frac{1 - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} \end{aligned} $$

Usamos la identidad pitagórica $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$:
$$ E = \frac{\sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} $$

Simplificamos $\sin 2\alpha$:
$$ E = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tan 2\alpha $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan 2\alpha} $$