1. Datos del problema:
Fracción con funciones de ángulo medio ($\alpha/2$).

2. Fórmulas usadas:

• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
• $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$
• $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$

3. Desarrollo paso a paso:
Convertimos todo a senos y cosenos:
$$ E = \frac{\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}} $$

Realizamos la suma y resta de fracciones en numerador y denominador:
$$ E = \frac{\frac{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}}{\frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}} $$

Cancelamos el denominador común $\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$:
$$ E = \frac{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)} $$

Aplicando identidades fundamentales:

• Numerador: $1$
• Denominador: $\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \cos \alpha$

$$ E = \frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\sec \alpha} $$