1. Datos del problema:
Simplificar una resta de fracciones trigonométricas con múltiples ángulos.

2. Propiedades de reducción:
Analizamos cada término individualmente:

• $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha$
• $\tan(\frac{\pi}{2} + \beta) = -\cot \beta$
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$
• $\cot(\frac{3\pi}{2} - \beta) = \tan \beta$
• $\sin(\frac{3\pi}{2} - \beta) = -\cos \beta$
• $\cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan \alpha$
• $\cos(2\pi - \beta) = \cos \beta$
• $\tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en la primera fracción:
$$ F_1 = \frac{(-\cos \alpha)(-\cot \beta)}{(-\cos \alpha)(\tan \beta)} = \frac{\cot \beta}{\tan \beta} = \frac{\frac{1}{\tan \beta}}{\tan \beta} = \frac{1}{\tan^2 \beta} = \cot^2 \beta $$

Sustituimos en la segunda fracción:
$$ F_2 = \frac{(-\cos \beta)(-\tan \alpha)}{(\cos \beta)(-\tan \alpha)} = \frac{\cos \beta \tan \alpha}{-\cos \beta \tan \alpha} = -1 $$

Combinamos ambos resultados ($F_1 - F_2$):
$$ E = \cot^2 \beta - (-1) = \cot^2 \beta + 1 $$

Por la identidad pitagórica $1 + \cot^2 \beta = \csc^2 \beta$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{\csc^2 \beta} $$