1. Agrupación estratégica:
Agrupamos los extremos y los medios:
Numerador: $(\sin 7\alpha + \sin \alpha) + (\sin 5\alpha + \sin 3\alpha)$
Denominador: $(\cos 7\alpha + \cos \alpha) + (\cos 5\alpha + \cos 3\alpha)$

2. Aplicar suma a producto:
Numerador:

• $\sin 7\alpha + \sin \alpha = 2 \sin 4\alpha \cos 3\alpha$


• $\sin 5\alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin 4\alpha \cos \alpha$

Suma: $2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

Denominador:

• $\cos 7\alpha + \cos \alpha = 2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha$


• $\cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos 4\alpha \cos \alpha$

Suma: $2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)$

3. Simplificar:
Dividiendo los resultados obtenidos:
$$ \frac{2 \sin 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)}{2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)} = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} = \tan 4\alpha $$

Resultado:
$$ \boxed{\tan 4\alpha} $$