1. Simplificar el numerador:
Por identidad de ángulo doble: $2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha$.

2. Analizar el denominador:
Sabemos que $\sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)$ por ángulos complementarios.
Entonces, el denominador queda:
$$ 2 \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = 2 \frac{\sin (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos (\frac{\pi}{4} - \alpha)} \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) $$
$$ = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) $$

3. Usar identidad de seno doble:
$$ 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta $$
Donde $\theta = \frac{\pi}{4} - \alpha$. El denominador es:
$$ \sin \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2\alpha \right) = \cos 2\alpha $$

4. Dividir numerador entre denominador:
$$ \frac{\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha} = 1 $$

Resultado:
$$ \boxed{1} $$