1. Definición de ángulos:
Sean $\alpha = \text{arcsen } \frac{4}{5}$, $\beta = \text{arcsen } \frac{5}{13}$ y $\gamma = \text{arcsen } \frac{16}{65}$.

2. Desarrollo de la suma de los dos primeros ángulos:

• Para $\alpha$: $\text{sen } \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos \alpha = \frac{3}{5}$.


• Para $\beta$: $\text{sen } \beta = \frac{5}{13}$, $\cos \beta = \frac{12}{13}$.

Aplicamos $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \text{sen } \alpha \text{sen } \beta$:
$$\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) - \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) = \frac{36 - 20}{65} = \frac{16}{65}$$
Esto significa que $\alpha + \beta = \arccos \frac{16}{65}$.

3. Conclusión:
Sabemos que para cualquier $x \in [-1, 1]$ se cumple $\text{arcsen } x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$.
Aquí $x = \frac{16}{65}$. Entonces:
$$\gamma + (\alpha + \beta) = \text{arcsen } \frac{16}{65} + \arccos \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$$

4. Resultado final:
$\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Queda demostrada la identidad.