1. Datos y fórmulas:
Usaremos la identidad para la resta de arcocosenos:
$$\arccos a - \arccos b = \arccos(ab + \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2})$$

2. Desarrollo paso a paso:
Sean $a = \sqrt{\frac{2}{3}}$ y $b = \frac{\sqrt{6} + 1}{2\sqrt{3}}$. Calculamos los términos necesarios:

• $1 - a^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{1 - a^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$


• $b^2 = \frac{(\sqrt{6} + 1)^2}{(2\sqrt{3})^2} = \frac{6 + 1 + 2\sqrt{6}}{12} = \frac{7 + 2\sqrt{6}}{12}$


• $1 - b^2 = 1 - \frac{7 + 2\sqrt{6}}{12} = \frac{12 - 7 - 2\sqrt{6}}{12} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{12}$

Notamos que $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$, entonces:

• $\sqrt{1 - b^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$

Sustituimos en la fórmula:
$$ab = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{6} + 1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{6}$$
$$\sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$$

Sumamos los términos:
$$ab + \sqrt{1-a^2}\sqrt{1-b^2} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

3. Resultado final:
$\arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6}$. Queda demostrada la identidad.