1. Datos del problema:
Calcular el valor de $F$ usando identidades de diferencia de ángulos y ángulo doble.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \text{sen } \alpha \text{sen } \beta$


• $\cos(2\beta) = 1 - 2\text{sen}^2 \beta$


• $\text{sen}(2\beta) = 2 \text{sen } \beta \cos \beta$

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $\alpha = \text{arcsen } \frac{2}{3} \Rightarrow \text{sen } \alpha = \frac{2}{3}$ y $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Sea $\beta = \text{arcsen } \frac{1}{3} \Rightarrow \text{sen } \beta = \frac{1}{3}$ y $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Calculamos los valores para el ángulo doble $2\beta$:

• $\cos(2\beta) = 1 - 2(\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$


• $\text{sen}(2\beta) = 2(\frac{1}{3})(\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

Aplicamos la identidad del coseno de la resta:
$$F = \cos \alpha \cos(2\beta) + \text{sen } \alpha \text{sen}(2\beta)$$
$$F = \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) \left( \frac{7}{9} \right) + \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{4\sqrt{2}}{9} \right)$$
$$F = \frac{7\sqrt{5}}{27} + \frac{8\sqrt{2}}{27}$$

4. Resultado final:
$$F = \frac{7\sqrt{5} + 8\sqrt{2}}{27}$$