Paso 1: Sea $s=\sen x$ y $c=\cos x $. La condición es:
$$ s+c=sc. $$

Paso 2: Expresar $ F $ en función de $s $ y $ c $:
$$ F=\tan x+\cot x=\frac{s}{c}+\frac{c}{s}=\frac{s^{2}+c^{2}}{sc}=\frac{1}{sc}. $$
(Usamos $s^{2}+c^{2}=1$.)

Paso 3: Hallar $sc$ desde $s+c=sc$:
Cuadrando:
$$ (s+c)^{2}=(sc)^{2}. $$
Pero:
$$ (s+c)^{2}=s^{2}+c^{2}+2sc=1+2sc. $$
Si $p=sc$, queda:
$$ p^{2}=1+2p \Rightarrow p^{2}-2p-1=0. $$
Resolviendo:
$$ p=1\pm\sqrt2. $$
Como $sc\in\left[-\frac12,\frac12\right]$, se descarta $1+\sqrt2$ y se toma:
$$ sc=1-\sqrt2. $$

Paso 4: Calcular $F$:
$$ F=\frac{1}{1-\sqrt2}=\frac{1+\sqrt2}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}=\frac{1+\sqrt2}{1-2}=-(1+\sqrt2). $$

Resultado final: $\boxed{F=-1-\sqrt2}$.