Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_128
Compendio de Trigonometría
Enunciado
Reduzca la expresión:
$$ F=\frac{\big(\sen(A+B+C)-\cos D\big)\sec(A+B+C)}{\tan(A+B)\cot(C+D)}-\tan D, $$
siendo $A,B,C,D$ los ángulos interiores de un cuadrilátero.
$$ F=\frac{\big(\sen(A+B+C)-\cos D\big)\sec(A+B+C)}{\tan(A+B)\cot(C+D)}-\tan D, $$
siendo $A,B,C,D$ los ángulos interiores de un cuadrilátero.
Solución Paso a Paso
Datos del problema: En un cuadrilátero:
$$ A+B+C+D=360^\circ \Rightarrow A+B+C=360^\circ-D,\quad C+D=360^\circ-(A+B). $$
Paso 1: Simplificar el numerador:
$$ \sen(A+B+C)=\sen(360^\circ-D)=-\sen D,\qquad \sec(A+B+C)=\sec(360^\circ-D)=\sec D. $$
Entonces:
$$ \big(\sen(A+B+C)-\cos D\big)\sec(A+B+C)=(-\sen D-\cos D)\sec D =\frac{-\sen D-\cos D}{\cos D}=-(\tan D+1). $$
Paso 2: Simplificar el denominador:
$$ \cot(C+D)=\cot(360^\circ-(A+B))=-\cot(A+B). $$
Por tanto:
$$ \tan(A+B)\cot(C+D)=\tan(A+B)\big(-\cot(A+B)\big)=-1. $$
Paso 3: Sustituir en $F$:
$$ F=\frac{-(\tan D+1)}{-1}-\tan D=(\tan D+1)-\tan D=1. $$
Resultado final: $\boxed{F=1}$.
$$ A+B+C+D=360^\circ \Rightarrow A+B+C=360^\circ-D,\quad C+D=360^\circ-(A+B). $$
Paso 1: Simplificar el numerador:
$$ \sen(A+B+C)=\sen(360^\circ-D)=-\sen D,\qquad \sec(A+B+C)=\sec(360^\circ-D)=\sec D. $$
Entonces:
$$ \big(\sen(A+B+C)-\cos D\big)\sec(A+B+C)=(-\sen D-\cos D)\sec D =\frac{-\sen D-\cos D}{\cos D}=-(\tan D+1). $$
Paso 2: Simplificar el denominador:
$$ \cot(C+D)=\cot(360^\circ-(A+B))=-\cot(A+B). $$
Por tanto:
$$ \tan(A+B)\cot(C+D)=\tan(A+B)\big(-\cot(A+B)\big)=-1. $$
Paso 3: Sustituir en $F$:
$$ F=\frac{-(\tan D+1)}{-1}-\tan D=(\tan D+1)-\tan D=1. $$
Resultado final: $\boxed{F=1}$.