Datos del problema: $A+B+C=180^\circ \Rightarrow \dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}+\dfrac{C}{2}=90^\circ$.

Sea:
$$ x=\frac{A}{2},\quad y=\frac{B}{2},\quad z=\frac{C}{2}\quad\Rightarrow\quad x+y+z=90^\circ. $$

Paso 1: Usar $\tan(x+y)=\cot z$ porque $x+y=90^\circ-z$:
$$ \tan(x+y)=\tan(90^\circ-z)=\cot z=\frac{1}{\tan z}. $$

Paso 2: Expandir $\tan(x+y)$:
$$ \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}=\frac{1}{\tan z}. $$
Multiplicando:
$$ \tan z(\tan x+\tan y)=1-\tan x\tan y. $$

Paso 3: Reordenar:
$$ \tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x=1. $$

Sustituyendo $x=\frac{A}{2}$, $y=\frac{B}{2}$, $z=\frac{C}{2}$, se obtiene lo pedido.

Resultado final: Queda demostrada la identidad.