Datos del problema: $A+B+C=180^\circ \Rightarrow C=180^\circ-(A+B)$.

Paso 1: Expresar $\sen^2 C $ en función de $ A $ y $B$:
$$ \sen C=\sen(180^\circ-(A+B))=\sen(A+B), $$
$$ \sen^2 C=\sen^2(A+B)=\big(\sen A\cos B+\cos A\sen B\big)^2. $$
Entonces:
$$ \sen^2 C=\sen^2A\cos^2B+\cos^2A\sen^2B+2\sen A\cos A\sen B\cos B. $$

Paso 2: Calcular el lado izquierdo:
$$ \sen^2A+\sen^2B-\sen^2C =\sen^2A+\sen^2B-\sen^2A\cos^2B-\cos^2A\sen^2B-2\sen A\cos A\sen B\cos B. $$
Agrupando:
$$ =\sen^2A(1-\cos^2B)+\sen^2B(1-\cos^2A)-2\sen A\cos A\sen B\cos B, $$
$$ =\sen^2A\sen^2B+\sen^2B\sen^2A-2\sen A\cos A\sen B\cos B =2\sen^2A\sen^2B-2\sen A\cos A\sen B\cos B. $$
Factorizando:
$$ =2\sen A\sen B\big(\sen A\sen B-\cos A\cos B\big). $$

Paso 3: Relacionar con $\cos C$:
$$ \cos C=\cos(180^\circ-(A+B))=-\cos(A+B)=-(\cos A\cos B-\sen A\sen B) =\sen A\sen B-\cos A\cos B. $$
Por tanto:
$$ \sen^2A+\sen^2B-\sen^2C =2\sen A\sen B\cos C. $$

Resultado final: Queda demostrada la identidad.